Derivadas por regla general

La definición fundamental del Calculo diferencial es la siguiente :
La derivada ** de una función es el limite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando este tiende a cero.
** Llamada también coeficiente diferencial o función derivada.
Regla General para la Derivación
Primer paso.- Se sustituye en la función x por x + Δx, y se calcula el nuevo valor de la función y + Δy.
Segundo paso.- Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene Δy ( incremento de la función ).
Tercer paso.- Se divide Δy (incremento de la función ) por Δx ( incremento de la variable independiente ).
Cuarto paso.- Se calcula el limite de este cociente cuando Δx ( incremento de la variable independiente ) tiende a cero. El limite así hallado es la derivada buscada.
Ejemplo .- Hallar la derivada de la función :
y = 3x2 + 5
( Primer paso) y + Δy = 3(x + Δx)2 + 5
= 3x2 + 6x.Δx + 3(Δx)2 + 5
( Segundo paso) y + Δy = 3x2 + 6x.Δx + 3(Δx)2 + 5
- y = - 3x2 -5
Δy = 6x.Δx + 3(Δx)2
( Tercer paso ) Δy = 6x + 3Δx Δx
(Cuarto paso ) En el segundo miembro hagamos Δx ---->0. y resulta :
dy = 6x.dx
Ejercicios propuestos para ser desarrollados por medio de la regla general.
Resuelva Resultado
y = x3 - 2x + 7 3x2 - 2
y = c / x2 - 2c / x3
q = 2 / x + 1 - 2 / (x + 1)2
s = t + 4/t - 4/t2
y = 1/1-2x 2/(1 - 2x )2
Importancia de la regla general.- La regla general para derivación es fundamental, puesto que se deduce directamente de la definición de derivada, y es muy importante familiarizarse con ella. Sin embargo, el procedimiento de aplicar la regla en la resolución de problemas es largo o difícil; por consiguiente, se han deducido de la regla general, a fin de facilitar la tarea, reglas especiales para derivar ciertas formas normales que se presentan con frecuencia.
( Es importante no solo aprender de memoria cada formula sino también poder enunciar en palabras la regla correspondiente ).

Formulas de Derivación

I dc = 0 dx
La derivada de una constante es cero.
II dx = 1 dx
La derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad.
III La derivada de la suma algebraica de un numero finito n de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones.
IV La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.