En este blog nos enfocaremos principalmente en los temas a tratar del examen de Cálculo Diferencial de Quinto Semestre, espero que les sirva y sea agradable.
Temas a tratar principalmente:
Limites
Límites Definidos
Limites Indefinidos
Derivadas
Derivadas Algebraicas
Derivadas Logarítmicas
Derivadas Exponenciales
Derivadas Trigonométricas
Derivadas Trigonométricas Inversas
Máximos y Mínimos
Funciones
Puntos máximos y mínimos
Graficación
Intervalos
Problemas : (
Calculo
Diferencial
martes, 3 de junio de 2008
martes, 27 de mayo de 2008
Derivadas implicitas
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación
dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente: .
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
Ejemplo 3:
Hallar , de la función implícita:
Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;
.
En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.
.
La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,
quitando paréntesis y ordenando los términos,
,
pasando algunos términos al lado derecho,
extrayendo el factor común ,
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:
dy/dx con derivadas parciales
Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:
donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,
y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación
dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente: .
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
Ejemplo 3:
Hallar , de la función implícita:
Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;
.
En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.
.
La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,
quitando paréntesis y ordenando los términos,
,
pasando algunos términos al lado derecho,
extrayendo el factor común ,
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:
dy/dx con derivadas parciales
Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:
donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,
y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.
Derivadas por regla general
La definición fundamental del Calculo diferencial es la siguiente :
La derivada ** de una función es el limite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando este tiende a cero.
** Llamada también coeficiente diferencial o función derivada.
Regla General para la Derivación
Primer paso.- Se sustituye en la función x por x + Δx, y se calcula el nuevo valor de la función y + Δy.
Segundo paso.- Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene Δy ( incremento de la función ).
Tercer paso.- Se divide Δy (incremento de la función ) por Δx ( incremento de la variable independiente ).
Cuarto paso.- Se calcula el limite de este cociente cuando Δx ( incremento de la variable independiente ) tiende a cero. El limite así hallado es la derivada buscada.
Ejemplo .- Hallar la derivada de la función :
y = 3x2 + 5
( Primer paso) y + Δy = 3(x + Δx)2 + 5
= 3x2 + 6x.Δx + 3(Δx)2 + 5
( Segundo paso) y + Δy = 3x2 + 6x.Δx + 3(Δx)2 + 5
- y = - 3x2 -5
Δy = 6x.Δx + 3(Δx)2
( Tercer paso ) Δy = 6x + 3Δx Δx
(Cuarto paso ) En el segundo miembro hagamos Δx ---->0. y resulta :
dy = 6x.dx
Ejercicios propuestos para ser desarrollados por medio de la regla general.
Resuelva Resultado
y = x3 - 2x + 7 3x2 - 2
y = c / x2 - 2c / x3
q = 2 / x + 1 - 2 / (x + 1)2
s = t + 4/t - 4/t2
y = 1/1-2x 2/(1 - 2x )2
Importancia de la regla general.- La regla general para derivación es fundamental, puesto que se deduce directamente de la definición de derivada, y es muy importante familiarizarse con ella. Sin embargo, el procedimiento de aplicar la regla en la resolución de problemas es largo o difícil; por consiguiente, se han deducido de la regla general, a fin de facilitar la tarea, reglas especiales para derivar ciertas formas normales que se presentan con frecuencia.
( Es importante no solo aprender de memoria cada formula sino también poder enunciar en palabras la regla correspondiente ).
Formulas de Derivación
I dc = 0 dx
La derivada de una constante es cero.
II dx = 1 dx
La derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad.
III La derivada de la suma algebraica de un numero finito n de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones.
IV La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.
La derivada ** de una función es el limite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando este tiende a cero.
** Llamada también coeficiente diferencial o función derivada.
Regla General para la Derivación
Primer paso.- Se sustituye en la función x por x + Δx, y se calcula el nuevo valor de la función y + Δy.
Segundo paso.- Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene Δy ( incremento de la función ).
Tercer paso.- Se divide Δy (incremento de la función ) por Δx ( incremento de la variable independiente ).
Cuarto paso.- Se calcula el limite de este cociente cuando Δx ( incremento de la variable independiente ) tiende a cero. El limite así hallado es la derivada buscada.
Ejemplo .- Hallar la derivada de la función :
y = 3x2 + 5
( Primer paso) y + Δy = 3(x + Δx)2 + 5
= 3x2 + 6x.Δx + 3(Δx)2 + 5
( Segundo paso) y + Δy = 3x2 + 6x.Δx + 3(Δx)2 + 5
- y = - 3x2 -5
Δy = 6x.Δx + 3(Δx)2
( Tercer paso ) Δy = 6x + 3Δx Δx
(Cuarto paso ) En el segundo miembro hagamos Δx ---->0. y resulta :
dy = 6x.dx
Ejercicios propuestos para ser desarrollados por medio de la regla general.
Resuelva Resultado
y = x3 - 2x + 7 3x2 - 2
y = c / x2 - 2c / x3
q = 2 / x + 1 - 2 / (x + 1)2
s = t + 4/t - 4/t2
y = 1/1-2x 2/(1 - 2x )2
Importancia de la regla general.- La regla general para derivación es fundamental, puesto que se deduce directamente de la definición de derivada, y es muy importante familiarizarse con ella. Sin embargo, el procedimiento de aplicar la regla en la resolución de problemas es largo o difícil; por consiguiente, se han deducido de la regla general, a fin de facilitar la tarea, reglas especiales para derivar ciertas formas normales que se presentan con frecuencia.
( Es importante no solo aprender de memoria cada formula sino también poder enunciar en palabras la regla correspondiente ).
Formulas de Derivación
I dc = 0 dx
La derivada de una constante es cero.
II dx = 1 dx
La derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad.
III La derivada de la suma algebraica de un numero finito n de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones.
IV La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.
Derivadas
Definida de manera informal, la derivada de una función en un punto es el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto.
La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones
La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones
lunes, 12 de mayo de 2008
Saludos!!
Hola a todos ps que creen hoy tuve como un examen de calculo bueno mas bien no fue examen fue como tarea o quien sabe el caso que estuvo medio complicado pero resolvi todo primero la profa nos dejo escribir sobre las reglas de creo que limites no recuerdo muy bien y luego explicar cada uno de ellos de alli resolverlos pero lo bueno que solo fueron cuatro jejeje si me dio trabajo reslverlos y mas los que tenian exponentes de fracciones bueno eso es todo que tengo que decr nos vemos para la proxima....
Atte
Viry...
Atte
Viry...
martes, 22 de abril de 2008
Ejercicios
Ps como Ven estos son algunos de los ejercicios que vinieron en mi preexamen de calculo jajaja espero y los entiendan ya estan resueltos XD!
NOs vemos ahora si BYeps
Otro examen
Hola a todos de nuevo se me olvido decrles mañana tengo examen de calculo de nuevo a ver como me va jajaj bueno es toodo me despido ahora si byeps
Suscribirse a:
Entradas (Atom)